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Fondements des distributions de probabilités conjointes
MATH005Lesson 6
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Dans les leçons précédentes, nous vivions dans un monde à une dimension, observant des variables aléatoires individuelles de manière isolée. Maintenant, nous élargissons notre horizon à Distributions de probabilités conjointes. Imaginez observer un vecteur de variables simultanément — comme la taille et le poids d'un étudiant, ou les coordonnées d'une flèche touchant une cible. Ce cadre nous permet de décrire mathématiquement comment les variables interagissent, dépendent les unes des autres, ou coexistent dans une indépendance parfaite.

1. La fonction de répartition cumulative conjointe (FCRC)

La fondation de l'analyse multivariée est la fonction de distribution conjointe $F(a_1, a_2, \dots, a_n)$. Elle définit la probabilité que plusieurs conditions soient remplies simultanément.

$F(a_1, a_2, \dots, a_n) = P\{X_1 \le a_1, X_2 \le a_2, \dots, X_n \le a_n\}$

Cette formule représente la probabilité que chaque variable $X_i$ tombe en dessous de son seuil respectif $a_i$ simultanément. Géométriquement, en deux dimensions, il s'agit de la probabilité que la paire aléatoire $(X, Y)$ tombe dans le rectangle semi-infini situé en bas à gauche du point $(a, b)$.

2. L'interprétation infinitésimale de la densité

Pour les variables continues, nous décrivons la probabilité à l'aide d'une fonction de densité de probabilité conjointe (FDP conjointe), $f(x, y)$. Contrairement aux cas discrets, la probabilité en un point unique est nulle. Nous devons plutôt considérer des régions infinitésimales :

  • La probabilité qu'une paire $(X, Y)$ tombe dans un petit rectangle est donnée par :
    $P\{a < X < a + da, b < Y < b + db\} = \int_{b}^{b+db} \int_{a}^{a+da} f(x, y) \, dx \, dy \approx f(a, b) \, da \, db$
  • Autrement exprimé : $P\{x < X < x + dx, y < Y < y + dy\} \approx f(x, y) dx dy$

Cela révèle que $f(x, y)$ est une « densité » par rapport à la surface de la région dans le plan cartésien.

3. Dépendance et contraintes géométriques

En probabilités, les variables aléatoires qui ne sont pas indépendantes sont dites dépendantes. Ce n'est pas seulement une propriété algébrique ; elle est souvent visible dans le support de la distribution.

Exemple 1c : Le point aléatoire sur un cercle

Considérons un point $(X, Y)$ choisi uniformément à l'intérieur d'un cercle de rayon $R$ centré en $(0,0)$. Les variables $X$ et $Y$ sont dépendantes car connaître $X = x$ limite les valeurs possibles de $Y$.

Si $X$ est proche de $R$, alors $Y$ doit être proche de $0$. Mathématiquement, $Y$ est contraint : $-\sqrt{R^2 - X^2} \le Y \le \sqrt{R^2 - X^2}$. Cette frontière empêche la densité conjointe de se factoriser en marginales indépendantes.

🎯 Idée centrale
Les distributions conjointes définissent l'espace de probabilité partagé. Lorsqu'une réalisation d'une variable restreint les résultats possibles de l'autre (comme dans l'exemple 1c, 1d et 1e), nous avons capturé l'essence de la dépendance.